貝茲曲線

22 Jan, 2026

這篇是上週 1/17 凌晨看偷肉將的圖奇台的話題。

在向量繪圖中，我們常常想要畫出一條比較複雜的曲線，但又難以確切的表示曲線上每一個點的位置。這時可以先抓出曲線的轉折點，再把這些點以適當的方式，平滑的連在一起，就會得到我們想要的曲線了。

貝茲曲線就是這樣一種方法，它可以讓我們描繪出各種曲線。藉由調整節點的位置，也可以改變曲線每個部份的彎曲程度。因此我們可以利用貝茲曲線描繪出圖形的邊界，再分離曲線外部與內部，就能有去背的效果。這讓我們能進一步對背景和主體圖像做出相互獨立的操作，例如在主體上加上一些效果，而不會相互干擾。

貝茲曲線的公式

我聽了之後，對貝茲曲線確切是怎麼來的感到好奇，便到維基百科上面找到了他的公式:

${\mathbf{B}}_{P_0{P}_1\cdots P_n}(t)=(1-t){\mathbf{B}}_{P_0{P}_1\cdots P_{n-1}}(t)+t{\mathbf{B}}_{P_1\cdots P_n}(t)$

我讀到這東西的時候大概是凌晨四點左右 — 我已經不知道到底是凌晨四點在圖奇聊貝茲曲線的主播比較怪，還是真的認真在聽還去翻維基百科的我比較瘋了 — 所以我只想說嗯好，他是一個遞迴式，然後

• 一個點的貝茲曲線就是那個點自身 （把單點勉強叫做一條曲線的話，因為曲線就是很多個點）
• 兩個點的話，貝茲曲線就是連接他們的直線

但是我當時的精神狀態真的不足以再繼續理解下去，所以我就去睡了。

搞懂公式

隔天（more like 幾個小時後）起來我又看了幾遍那個式子，但是我越看越覺得它怎麼好像有點似曾相識，於是我把兩個點的版本寫出來看，它長得像這樣：

$(1-t)P_0+t{P}_1$

對照一下 $P_0{P}_1$，他就是這條線段上的某個點 $Q$ ：如果從 $P_1$ 等速跑到 $P_0$ 需要 1 秒鐘，而 $t$ 秒鐘時跑到 $Q$ 點， 那上面那條其實就代表了 $Q$ 點的位置。

等等，不對阿，所以說那個遞迴公式不就是把兩段上面都做一樣的事，然後畫出一條軌跡？就是如果有三個人，他們等速跑完各自的全程都只要 1 秒鐘：

• 一個從 $P_1$ 沿著曲線跑到 $P_0$，
• 一個從 $P_2$ 沿著曲線跑到 $P_1$，
• 最後一個跟著前兩個人之間的連線，從 $P_2$ 跑到 $P_0$，

最後這個人的軌跡就是接出來的貝茲曲線了阿。要是有更多節點的時候，一樣直接一層一層往下接就可以了。

我還以為會用到微積分咧，$2$ㄏ — 不對，是物理過程把微積分的部份蓋掉了而已。如果不是直線的話，光算那個速度就會用到微積分了。嗯，至少我看懂它在幹嘛了。

雖然其實據說實際上根本沒人用到超過三層的，因為程式會跑不動，而且實際上還要再改一下算法讓他快一點，也是滿合理的啦。