貝茲曲線的聯想
這是之前在噗浪上跟人討論貝茲曲線引發的一些奇思妙想。感謝誰肯提供的想法。
當時誰肯思考了貝茲曲線在天文上的應用，他後來的想法是
貝茲曲線給予的參數跟宇宙裡各種自然參數還是少太多，不能實際運用在星體軌道、太空機具利用引力與燃料投放的彈弓效應。
並且他也從這邊引申思考，探討微積分在現代物理中的運用及其限制。確實，微積分的本質其實就是透過截取時空中一個無限小的區塊，再用線性化的方式近似描繪這個區塊中的現象。就像曲線截一小段就會變直線，這是切線的由來，也是流形 (manifold) 的原理。這樣的方法終如以管窺天，即便看見了無數個不同的片段，又如何能知道這些碎片拼湊成的景象和真實的差距？恐怕只是以有涯隨無涯罷了。
甚至即使只談理想化的數學曲線，微積分真能預測的東西也非常有限。無論你給幾個點和多高階的微分，都還是有無窮多條曲線通過你給的點並且微分滿足要求。而像是泰勒逼近這樣用微積分逼近一條曲線的方式，離參考點太遠又會直接飛走，可能變得跟曲線毫無關聯。
另一方面，Stone-Weierstrass 定理 表示在任意連續曲線抓其中一段線段（包含端點），該線段都可以用多項式的圖像逼近。更準確的說，給定任意誤差容許值，都可以找到一個多項式，使得其誤差在容許值以內。
那麼，如果假定時空跳躍不存在 — 事實上只需要每個時空跳躍之間都有間隙，因為可以把斷點直接當成端點 — 這是否表示在有限的可能性之中，或許也能發展出許多與無限的世界相當接近的理解？雖然其實應該是可數無窮，因為每個多項式都是變數的次方各自放大縮小若干倍後再相加減的結果，而這些次方的數目是可數無窮。也就是說，隨著時代的更迭，文明的發展，人類對知識的索求與試探，或許在這過程中會有誰無意間撞見無限的宇宙真理掠過眼前，就像目睹流星的旅人一般吧。只是看到了也不代表能夠捕捉到，也有可能我們只是與它擦肩而過。
甚至即使找到了表面相似的那個選擇，內部也可能迥異，例如 Weierstrass 函數— 處處連續處處不可微分。更有甚者，這樣的狀況還是常態。 絕大多數 的連續函數都是像 Weierstrass 函數那樣的。簡直就像是想以管窺天，以為至少能看到一小部份，卻發現一旦對著天空，感官就會完完全全失效啊。